矩阵相关知识

Written on November 11th, 2016 by jian11

1. 定义(Defination)

由$m\\times{n}$个数$a_{ij}$排成的$m$行$n$列的数表称为$m$行$n$列的矩阵，简称$m × n$矩阵。记作： 矩阵 $A= \\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}& \\cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &\\cdots & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} &\\cdots & a_{3n}\\ \\cdots & \\cdots&\\cdots&\\ddots & \\cdots\\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \\cdots & a_{mn}\\ \\end{bmatrix}$ 这$m×n$个数称为矩阵$A$的元素，简称为元，数$a_{ij}$位于矩阵$A$的第$i$行第$j$列，称为矩阵$A的(i,j)$元，以数$a_{ij}为(i,j)$元的矩阵可记为$(a_{ij})$或$(a_{ij})_{m × n}$，$m×n$矩阵$A$也记作$A\_{mn}$。 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵

2. 矩阵的线性运算

2.1 矩阵加法

只有相同维度的矩阵(同型矩阵)之间才能相加 例如: $\\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 5 \\ 1 & 4 \\ \\end{bmatrix} + \\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 6 & 4\\ 3 & 3\\ \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 3 & 3\\ 13 & 9\\ 4 & 7\\ \\end{bmatrix}$ 且满足以下规律: $A+B=B+A$ $(A+B)+C=A+(B+C)$

2.2 矩阵的数乘(Scalar Multiplication)

即矩阵与实数相乘,等于实数与矩阵里的每个元素相乘 满足以下运算规律: $(\\lambda\\mu)A=\\lambda(\\mu{A}) \\ (\\lambda+\\mu)A=\\lambda{A}+\\mu{A} \\ \\lambda(A+B)=\\lambda{A}+\\lambda{B} \\$ $\\begin{bmatrix} 1 & 5\\ 2 & 7\\ \\end{bmatrix} \\times 3 = \\begin{bmatrix} 3 & 15\\ 6 & 21\\ \\end{bmatrix}$

3. 矩阵的转置

把矩阵$A$的行和列互相交换所产生的矩阵称为$A$的转置矩阵,记为$A^T$ ，这一过程称为矩阵的转置 $\\begin{bmatrix} 1 & 5\\ 2 & 7\\ \\end{bmatrix}^T= \\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 5 & 7\\ \\end{bmatrix}$

4. 矩阵的乘法

矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。它只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。 设A为$m\\times{p}$的矩阵，B为$p\\times{n}$的矩阵，那么称$m\\times{n}$的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作$C=AB$，其中矩阵C中的第i行第j列元素可以表示为： $(AB)_{ij}=\\sum^p_{k=1}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\\cdots+a_{ip}b_{pj}$

注意事项 当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，A与B可以相乘。

• 矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。
• 乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。

基本性质

• 乘法结合律： $(AB)C=A(BC)$
• 乘法左分配律：$(A+B)C=AC+BC$
• 乘法右分配律：$C(A+B)=CA+CB$
• 对数乘的结合性$k(AB）=(kA)B=A(kB）$
• 转置 $(AB)^T=B^TA^T$
• 矩阵乘法一般不满足交换律

$$\\begin{bmatrix} 1 & 5\\ 2 & 7\\ \\end{bmatrix} \\times \\begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 3 & 15\\ 6 & 21\\ \\end{bmatrix}$$

5. 单位矩阵

$主对角线上的元素都为1，其余元素全为0的n阶矩阵称为n阶单位矩阵，记为I_n或E_n，通常用I或E来表示。$ 在线性代数中，大小为n的单位矩阵是在主对角线上均为1，而其他地方都是0的n*n的正方矩阵。它用I_n表示，或有时阶数可忽略时就直接用I来表示。如下所示： $I_1=\\begin{bmatrix} 1 \\end{bmatrix}\\ I_2=\\begin{bmatrix} 1 &0\\ 0&1\\ \\end{bmatrix}\\ I_3=\\begin{bmatrix} 1 &0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \\end{bmatrix}\\ \\cdots\\cdots\\cdots\\ I_n=\\begin{bmatrix} 1 &0&\\cdots&0\\ 0&1&\\cdots&0\\ \\cdots&\\cdots&\\ddots&\\cdots\\ 0&0&\\cdots&1\\ \\end{bmatrix}\\ $ 同时单位矩阵也可以简单地记为一个对角线矩阵： $I_n=diag(1,1,1,...,1)$

性质 根据矩阵乘法的定义，单位矩阵的重要性质为：$AI_n=A和I_nB=B$ 单位矩阵的特征值皆为1，任何向量都是单位矩阵的特征向量。具有重数。因为特征值之积等于行列式，所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之和等于迹数，单位矩阵的迹为$n$。

矩阵的逆

对于矩阵$A$，如果存在一个矩阵$B$，使得$AB=BA=E$，其中$E$为与$A,B$同维数的单位阵，就称$A$为可逆矩阵（或者称$A$可逆），并称$B$是$A$的逆矩阵，简称逆阵。（此时的逆称为凯利逆） 矩阵A可逆的充分必要条件是$$

A

≠0$。 伪逆矩阵是逆矩阵的广义形式。由于奇异矩阵或非方阵的矩阵不存在逆矩阵，但可以用函数$pinv(A)$求其伪逆矩阵。基本语法为X=pinv(A),X=pinv(A,tol)$,其中$tol$为误差,$pinv$为$pseudo-inverse$的缩写：$max(size(A))\_norm(A)\_eps$。函数返回一个与$A$的转置矩阵$A'$同型的矩阵$X$，并且满足：$AXA=A,XAX=X$.此时，称矩阵$X$为矩阵$A$的伪逆，也称为广义逆矩阵。$pinv(A)$具有$inv(A)$的部分特性，但不与$inv(A)$完全等同。 如果A为非奇异方阵，$pinv(A)=inv(A)$，但却会耗费大量的计算时间，相比较而言，$inv(A)$花费更少的时间。